Cálculo Ejemplos

$y = 7 \arctan (x - \sqrt{1 + x^{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 \arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$7 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (\frac{1}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ y $7$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 9.3

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 12

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - 2 \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Paso 14.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Paso 14.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 14.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 15

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})})$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 17

Reordena los factores de $\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$