Cálculo Ejemplos

$\frac{s}{1 + s^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ es $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ donde $f (s) = s$ y $g (s) = 1 + s^{2}$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $1 + s^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + s^{2}$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $1$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (2 s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s \cdot s}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 3

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 4

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s^{1})}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{1 + 1}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 7

Resta $2 s^{2}$ de $s^{2}$ .

$\frac{1 - s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{- s^{2} + 1}{{(s^{2} + 1)}^{2}}$