Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.5

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.6

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.8

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.9

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.11

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.12

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.14

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.15

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + 0) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.16

Suma $16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4$ y $0$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 2.18

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.18.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.18.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ .

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Paso 2.18.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 2.18.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

Paso 2.18.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{16 x \cdot x^{3} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{16 (x^{3} x) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 4.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 (x^{3} x^{1}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 x^{3 + 1} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{16 x^{4} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{16 x^{4} + 21 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{2 + 1} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.7

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 \cdot x - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.8

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.9

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.10

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.11

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Paso 4.3.1.12

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Paso 4.3.2

Combina los términos opuestos en $16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15$ .

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Paso 4.3.2.1

Resta $21 x^{3}$ de $21 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 0 + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Paso 4.3.2.2

Suma $16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Paso 4.3.3

Resta $12 x^{4}$ de $16 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Paso 4.3.4

Suma $- 6 x^{2}$ y $9 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} - 4 x + 12 x - 15}{x^{4}}$

Paso 4.3.5

Suma $- 4 x$ y $12 x$ .

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x - 15}{x^{4}}$