Cálculo Ejemplos

$x^{2} \arctan (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \arctan (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Paso 4

Para escribir $\arctan (x) (2 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x))}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x^{1}))}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{2 + 1})}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{3})}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.2

Reordena los factores en $x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$