Cálculo Ejemplos

$x e^{x y}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$x (e^{x y} y) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

Paso 3.5

Multiplica $e^{x y}$ por $1$ .

$x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$e^{x y} x y + e^{x y}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$x y e^{x y} + e^{x y}$