Cálculo Ejemplos

$2 x^{3} \sin (x) - 3 x \cos (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} \sin (x) - 3 x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} \cos (x)) + 2 (\sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} \cos (x)) + 2 (\sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x)$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x^{3} \cos (x) + 6 (\sin (x) (x^{2})) - 3 (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x)$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$2 x^{3} \cos (x) + 6 \sin (x) x^{2} + 3 x \sin (x) - 3 \cos (x)$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$2 x^{3} \cos (x) + 6 x^{2} \sin (x) + 3 x \sin (x) - 3 \cos (x)$