Cálculo Ejemplos

$y = (9 \sqrt{x} + 8) x^{2}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ y $g (x) = x^{2}$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 8.3

Combina $9$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 8.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 9

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Suma $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10.3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Paso 11.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Paso 11.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Paso 11.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Paso 11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Paso 11.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Paso 11.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 12

Combina $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x$ y $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 12.1

Mueve $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 12.2

Para escribir $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 12.3

Combina $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 13

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.2.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 14.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.3

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.1.4

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 32 x + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.2.2

Suma $36 x^{\frac{3}{2}}$ y $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.3

Factoriza $x$ de $32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $x$ de $32 x$ .

$\frac{x \cdot 32 + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14.3.2

Factoriza $x$ de $45 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 14.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (32 + 45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$