Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\ln (3 x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\ln (3 x)}$ como ${\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \ln (3 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 7.3

Mueve ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 8.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 9

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{3 x}$ por $\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x (2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 9.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Combina $3$ y $\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.4.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Factoriza $3$ de $6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 12

Multiplica $\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$