Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{x^{6}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{6} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $x^{6}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x^{5}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.2.2.5

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Paso 4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.4.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (x) x^{5}}{x^{12}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} - 6 \ln (x) x^{5}$ .

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Paso 4.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (x) x^{5}}{x^{12}}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $x^{5}$ de $- 6 \ln (x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (x))}{x^{12}}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (x))}{x^{12}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{5}$ de $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (x))}{x^{5} x^{7}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (x))}{x^{5} x^{7}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 6 \ln (x)}{x^{7}}$

Paso 6

Simplifica $- 6 \ln (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{6})}{x^{7}}$