Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x - 1}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x - 1$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2} - (2 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Paso 3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Paso 3.3.2

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Paso 3.4

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{x^{4}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{x^{4}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{x^{4}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $2 x (- x + 1)$ .

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{4}}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{x^{3}}$

Paso 3.7

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{x^{3}}$

Paso 3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{x^{3}}$

Paso 3.9

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{x^{3}}$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$