Cálculo Ejemplos

$f (t) = {(\frac{1}{t - 3})}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{1}{t - 3}$ .

$2 \frac{1}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{t - 3}$ como ${(t - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{- 1}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t - 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t - 3])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {(t - 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{t - 3}$ y ${(t - 3)}^{- 2}$ .

$- \frac{2 {(t - 3)}^{- 2}}{t - 3} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Paso 4.2

Mueve ${(t - 3)}^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{(t - 3) {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Paso 5

Multiplica $t - 3$ por ${(t - 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Multiplica $t - 3$ por ${(t - 3)}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Eleva $t - 3$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1} {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Paso 5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1 + 2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Paso 5.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])$

Paso 8

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + 0)$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \cdot 1$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}}$