Cálculo Ejemplos

$\cos^{2} (e^{\cos^{2} (t)})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = e^{\cos^{2} (t)}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Paso 3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = \cos^{2} (t)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{\cos^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cos (t)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ es $n {u_{4}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 \cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Paso 7

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) (- \sin (t))$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$

Paso 8.2

Reordena los factores de $4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$ .

$4 e^{\cos^{2} (t)} \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (t)$