Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} = 12 x y - 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (12 x y - 8)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x y - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x y$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 3.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 3.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 (x y' + y) + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (x y') + 12 y + 0$

Paso 3.4.2

Suma $12 x y' + 12 y$ y $0$ .

$12 x y' + 12 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 12 x y' + 12 y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $12 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y$

Paso 5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 12 x y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $3 y'$ de $- 12 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 4 x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 4 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} - 4 x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $12 y$ .

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$