Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\ln (x)}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{x}{\ln (x)}$ no está definida.

$x \leq 0, x = 1$

Paso 1.2

Como $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la izquierda y $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la derecha, entonces $x = 1$ es una asíntota vertical.

$x = 1$

Paso 1.3

Como el límite no existe, no hay asíntotas horizontales.

No hay asíntotas horizontales

Paso 1.4

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.5

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Paso 2

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{2}{\ln (2)}$

Paso 2.2

La respuesta final es $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)}$

Paso 2.3

Convierte $\frac{2}{\ln (2)}$ a decimal.

$y = 2.88539008$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{3}{\ln (3)}$

Paso 3.2

La respuesta final es $\frac{3}{\ln (3)}$ .

$\frac{3}{\ln (3)}$

Paso 3.3

Convierte $\frac{3}{\ln (3)}$ a decimal.

$y = 2.73071767$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 4$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{4}{\ln (4)}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$f (4) = \frac{4}{\ln (2^{2})}$

Paso 4.2.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$f (4) = \frac{4}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (2)$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))}$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4) = \frac{2}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)}$

Paso 4.3

Convierte $\frac{2}{\ln (2)}$ a decimal.

$y = 2.88539008$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 1$ y los puntos $(2, 2.88539008), (3, 2.73071767), (4, 2.88539008)$ .

Asíntota vertical: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2.885 \\ 3 & 2.731 \\ 4 & 2.885 \end{array}$

Paso 6