Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x \ln (x)}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{1}{x \ln (x)}$ no está definida.

$x \leq 0, x = 1$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.3

Como $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la izquierda y $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la derecha, entonces $x = 1$ es una asíntota vertical.

$x = 1$

Paso 1.4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = 0, 1$

Paso 1.5

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Paso 1.7

Como $n < m$ , el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

$y = 0$

Paso 1.8

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0, 1$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = 0, 1$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{1}{(2) \ln (2)}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \frac{1}{\ln (2^{2})}$

Paso 2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{1}{\ln (4)}$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)}$

Paso 2.3

Convierte $\frac{1}{\ln (4)}$ a decimal.

$y = 0.72134752$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{1}{(3) \ln (3)}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica $3 \ln (3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \frac{1}{\ln (3^{3})}$

Paso 3.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = \frac{1}{\ln (27)}$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{\ln (27)}$ .

$\frac{1}{\ln (27)}$

Paso 3.3

Convierte $\frac{1}{\ln (27)}$ a decimal.

$y = 0.30341307$

Paso 4

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0, 1$ y los puntos $(2, 0.72134752), (3, 0.30341307)$ .

Asíntota vertical: $x = 0, 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0.721 \\ 3 & 0.303 \end{array}$

Paso 5