Cálculo Ejemplos

$\ln (\sec (x))$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Para cualquier $y = \sec (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = \frac{π}{2} + n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = \ln (\sec (x))$ . Establece el interior de la función secante, $b x + c$ , para que $y = a \sec (b x + c) + d$ sea igual a $- \frac{π}{2}$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = \ln (\sec (x))$ .

$\sec (x) = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- \frac{π}{2})$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.1

Evalúa $arcsec (- \frac{π}{2})$ .

$x = 2.26090341$

Paso 1.2.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Paso 1.2.4

Resuelve $x$

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Paso 1.2.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Paso 1.2.4.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 2.26090341$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.26090341$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $2.26090341$ de $6.2831853$ .

$x = 4.02228188$

Paso 1.2.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 1.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Establece el interior de la secante $\sec (x)$ igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec (x) = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (\frac{3 π}{2})$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Evalúa $arcsec (\frac{3 π}{2})$ .

$x = 1.3569639$

Paso 1.4.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Paso 1.4.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Paso 1.4.4.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.3569639$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3569639$

Paso 1.4.4.2.2

Resta $1.3569639$ de $6.2831853$ .

$x = 4.9262214$

Paso 1.4.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 1.4.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.4.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.4.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.4.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.4.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.5

El período básico de $y = \ln (\sec (x))$ se producirá en $(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$ , donde $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ y $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ son asíntotas verticales.

$(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$

Paso 1.6

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 1.6.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.6.2

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.7

Las asíntotas verticales de $y = \ln (\sec (x))$ se producen en $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ y en cada $π n$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$π n$

Paso 1.8

Solo hay asíntotas verticales para la secante y la cosecante.

Asíntotas verticales: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ para cualquier número entero $n$

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ para cualquier número entero $n$

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \ln (\sec (1))$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Evalúa $\sec (1)$ .

$f (1) = \ln (1.85081571)$

Paso 2.2.2

La respuesta final es $\ln (1.85081571)$ .

$\ln (1.85081571)$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 5$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \ln (\sec (5))$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Evalúa $\sec (5)$ .

$f (5) = \ln (3.52532008)$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $\ln (3.52532008)$ .

$\ln (3.52532008)$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 6$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \ln (\sec (6))$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\sec (6)$ .

$f (6) = \ln (1.04148192)$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\ln (1.04148192)$ .

$\ln (1.04148192)$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ y los puntos $(1, 0.61562647), (5, 1.25997123), (6, 0.04064462)$ .

Asíntota vertical: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.616 \\ 5 & 1.26 \\ 6 & 0.041 \end{array}$

Paso 6