Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x}{x - 5}$ , $(7, 14)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 7$ y $y = 14$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{x - 5}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 5$ .

$4 \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{x - 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$4 \frac{0 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.4.1

Resta $5$ de $0$ .

$4 \frac{- 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}})$

Paso 1.3.6.4.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $- 4$ y $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.6.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$\frac{- 20}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 7$ .

$- \frac{20}{{((7) - 5)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Resta $5$ de $7$ .

$- \frac{20}{2^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{20}{4}$

Paso 1.5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.2.1

Divide $20$ por $4$ .

$- 1 \cdot 5$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 5$ y un punto dado $(7, 14)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (14) = - 5 \cdot (x - (7))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 5 \cdot (x - 7)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 14 = 0 + 0 - 5 \cdot (x - 7)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 14 = - 5 x - 5 \cdot - 7$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 7$ .

$y - 14 = - 5 x + 35$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 5 x + 35 + 14$

Paso 2.3.2.2

Suma $35$ y $14$ .

$y = - 5 x + 49$

Paso 3