Cálculo Ejemplos

$y = \frac{7 x}{x + 4}$ , $(3, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 x}{x + 4}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 4$ .

$7 \frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \frac{(x + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{x + 4 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$7 \frac{0 + 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Suma $0$ y $4$ .

$7 \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $7$ y $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{28}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$\frac{28}{{((3) + 4)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{28}{49}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $28$ y $49$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $7$ de $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{7}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{4}{7}$ y un punto dado $(3, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{4}{7} \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{4}{7} \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{4}{7}$ y $x$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{4}{7} \cdot - 3$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{4}{7}$ y $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 3 = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

Paso 2.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 3 \cdot 7}{7}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 21}{7}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 12$ y $21$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{9}{7}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{4}{7} x + \frac{9}{7}$

Paso 3