Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} + y^{2} = 57$ , $(- 4, 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 4$ y $y = 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (57)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Paso 1.2.4

Reordena los términos.

$2 y y' + 4 x$

Paso 1.3

Como $57$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $57$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 4 x = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' = - 4 x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Paso 1.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = - 4$ y $y = 5$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$- \frac{2 (- 4)}{y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $5$ en la expresión.

$- \frac{2 (- 4)}{5}$

Paso 1.7.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- \frac{- 8}{5}$

Paso 1.7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{8}{5}$

Paso 1.7.5

Multiplica $- - \frac{8}{5}$ .

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{8}{5})$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $\frac{8}{5}$ por $1$ .

$\frac{8}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{8}{5}$ y un punto dado $(- 4, 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{8}{5} \cdot (x - (- 4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{8}{5} \cdot (x + 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = \frac{8}{5} x + \frac{8}{5} \cdot 4$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{8}{5}$ y $x$ .

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8}{5} \cdot 4$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{8}{5} \cdot 4$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{8}{5}$ y $4$ .

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8 \cdot 4}{5}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 5 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 25}{5}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $32$ y $25$ .

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{57}{5}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{8}{5} x + \frac{57}{5}$

Paso 3