Cálculo Ejemplos

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = - x^{2} + 1$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Reescribe ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ como $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Paso 2.2

Expande $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $- x^{2}$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Paso 2.3.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combina $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ y $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\frac{x^{5}}{5} + x$ en $1$ y en $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Paso 10.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.4

Suma $1$ y $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.10.2

Resta $5$ de $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.13

Multiplica $\frac{6}{5}$ por $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.15

Suma $6$ y $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 10.2.3.17

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Paso 10.2.3.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 10.2.3.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Paso 10.2.3.20

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 10.2.3.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Paso 10.2.3.22

Suma $1$ y $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Paso 10.2.3.23

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Paso 10.2.3.24

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Paso 10.2.3.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Paso 10.2.3.26

Para escribir $\frac{12}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Paso 10.2.3.27

Para escribir $- \frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 10.2.3.28

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.28.1

Multiplica $\frac{12}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 10.2.3.28.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 10.2.3.28.3

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Paso 10.2.3.28.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Paso 10.2.3.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Paso 10.2.3.30

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.30.1

Multiplica $12$ por $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Paso 10.2.3.30.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Paso 10.2.3.30.3

Resta $20$ de $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Paso 10.2.3.31

Combina $π$ y $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Paso 10.2.3.32

Mueve $16$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{16 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 3.35103216 \dots$

Paso 12