Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2

Resuelve $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Elimina los exponentes fraccionarios mediante la multiplicación de ambos exponentes por el mínimo común denominador (mcd).

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Paso 1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 1.2.3.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Paso 1.2.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Paso 1.2.3.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Paso 1.2.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{5} = 81 x^{1}$

Paso 1.2.3.4

Simplifica.

$x^{5} = 81 x$

Paso 1.2.4

Resta $81 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{5} - 81 x = 0$

Paso 1.2.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{5} - 81 x$ .

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Paso 1.2.5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Paso 1.2.5.1.2

Factoriza $x$ de $- 81 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Paso 1.2.5.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ .

$x (x^{4} - 81) = 0$

Paso 1.2.5.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Paso 1.2.5.3

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Paso 1.2.5.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Paso 1.2.5.5

Factoriza.

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Paso 1.2.5.5.1

Simplifica.

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Paso 1.2.5.5.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.5.5.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 1.2.5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 1.2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.8

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.8.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 1.2.8.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.8.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 1.2.8.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 1.2.8.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 1.2.8.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 1.2.8.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 1.2.8.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 1.2.8.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 1.2.8.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 1.2.8.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.8.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 1.2.8.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 1.2.8.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 1.2.9

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.9.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.9.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.10

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.10.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 1.2.10.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.2.11

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.3.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

Paso 1.3.2.2.3

Evalúa el exponente.

$y = 3 \cdot 0$

Paso 1.3.2.2.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 3 i$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $3 i$ por $x$ .

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.4.2

Simplifica $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 1.4.2.1

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

Paso 1.4.2.2

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.2.2.1

Mueve $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.4.2.2.2

Multiplica $3^{\frac{1}{4}}$ por $3$ .

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Paso 1.4.2.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.4.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.4.2.2.5

Suma $1$ y $4$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = - 3 i$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $- 3 i$ por $x$ .

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.5.2

Aplica la regla del producto a $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.6

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.7

Evalúa $y$ cuando $x = 3$ .

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Paso 1.7.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.7.2

Sustituye $3$ por $x$ en $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.7.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.7.2.2

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.2.2.1

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 1.7.2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.7.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

Paso 1.7.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Paso 1.7.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

Paso 1.7.2.2.4

Suma $4$ y $1$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

Paso 1.8

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3