Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (5 x)}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x)}{1}$

Paso 1.4

Divide $5 \sec^{2} (5 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \sec^{2} (5 x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)$

Paso 2.2

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$5 {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$5 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)$

Paso 2.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$5 \sec^{2} (5 \cdot 0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$5 \sec^{2} (0)$

Paso 4.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$5 \cdot 1^{2}$

Paso 4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$