Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.4.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{3 x^{2}}$

Paso 2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Reordena $- 1$ y $\sec^{2} (0)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.3.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.2.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 3.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 + \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Paso 3.3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4.3

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Suma $0$ y $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.5

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.6

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.7

Combinar.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.8

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.5.8.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.5.8.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5.8.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Paso 4.1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.2

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot 0}$

Paso 4.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.5.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{3} \cdot 0}$

Paso 4.1.3.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Paso 4.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos^{3} (x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 4.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 4.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 4.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 4.3.7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Paso 4.3.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 4.3.9

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Paso 5.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Paso 5.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Paso 5.6

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Paso 5.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Paso 5.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Paso 5.9

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}$

Paso 5.10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Paso 7.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Paso 7.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Paso 7.2.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Paso 7.2.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (0)}$

Paso 7.2.6

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Paso 7.2.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Paso 7.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Paso 7.2.9

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 7.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$