Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Paso 1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.1

Combina los términos.

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Paso 1.1.1

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Paso 1.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x^{2} + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x^{2} + x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x^{2} + x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{(x^{2} + x) x}$

Paso 1.1.3.3

Reordena los factores de $(x^{2} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{x (x^{2} + x)}$

Paso 1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x - x}{x (x^{2} + x)}$

Paso 1.1.5

Resta $x$ de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + x)}$

Paso 1.1.6

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + x)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Paso 1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Paso 2.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 2.1.3.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Paso 5.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 5.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$