Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Combina los términos opuestos en ${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h x$ con respecto a $h$ es $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

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Paso 1.3.10.1

Combina los términos.

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Paso 1.3.10.1.1

Suma $0$ y $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.1.2

Suma $2 x + 2 h$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.2

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

Paso 1.4

Divide $2 h + 2 x$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 \cdot 0 + 2 x$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 2 x$

Paso 4.2

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$