Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 5 ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{2} + 5 (2 h x) + 5 h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{2} + 10 h x + 5 h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $5 x^{2} + 10 h x + 5 h^{2}$ .

$5 x^{2} + 10 h x + 5 h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $5 x^{2}$ .

$10 h x + 5 h^{2} + 5 x^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $10 h x$ y $5 h^{2}$ .

$5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2}$

$f (x) = 5 x^{2}$

$f (x + h) = 5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2}$

$f (x) = 5 x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2} - (5 x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2} - 5 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Resta $5 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{5 h^{2} + 10 h x + 0}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $5 h^{2} + 10 h x$ y $0$ .

$\frac{5 h^{2} + 10 h x}{h}$

Paso 4.1.4

Factoriza $5 h$ de $5 h^{2} + 10 h x$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $5 h$ de $5 h^{2}$ .

$\frac{5 h \cdot h + 10 h x}{h}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $5 h$ de $10 h x$ .

$\frac{5 h \cdot h + 5 h (2 x)}{h}$

Paso 4.1.4.3

Factoriza $5 h$ de $5 h \cdot h + 5 h (2 x)$ .

$\frac{5 h (h + 2 x)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 h (h + 2 x)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $5 (h + 2 x)$ por $1$ .

$5 (h + 2 x)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 h + 5 (2 x)$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$5 h + 10 x$

Paso 4.2.3.2

Reordena $5 h$ y $10 x$ .

$10 x + 5 h$

Paso 5