Cálculo Ejemplos

$\arctan (x)$

Paso 1

Escribe $\arctan (x)$ como una función.

$f (x) = \arctan (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \arctan (x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (x)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Combina $x$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 6.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$