Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=(x^2-1)^3
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.2
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.1
Suma y .
Paso 1.2.4.2
Multiplica por .
Paso 1.2.4.3
Reordena los factores de .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.4
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.4.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.4.1
Suma y .
Paso 2.4.4.2
Multiplica por .
Paso 2.5
Eleva a la potencia de .
Paso 2.6
Eleva a la potencia de .
Paso 2.7
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.8
Suma y .
Paso 2.9
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.10
Multiplica por .
Paso 2.11
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.4
Combina los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.4.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.4.1.1
Mueve .
Paso 2.11.4.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.11.4.1.3
Suma y .
Paso 2.11.4.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.11.4.3
Multiplica por .
Paso 2.11.4.4
Multiplica por .
Paso 2.11.4.5
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.11.4.6
Multiplica por .
Paso 2.11.5
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.5.1
Reescribe como .
Paso 2.11.5.2
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.5.2.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.5.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.5.2.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.5.3
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.5.3.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.5.3.1.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.5.3.1.1.1
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.11.5.3.1.1.2
Suma y .
Paso 2.11.5.3.1.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.11.5.3.1.3
Reescribe como .
Paso 2.11.5.3.1.4
Reescribe como .
Paso 2.11.5.3.1.5
Multiplica por .
Paso 2.11.5.3.2
Resta de .
Paso 2.11.5.4
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.5.5
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.11.5.5.1
Multiplica por .
Paso 2.11.5.5.2
Multiplica por .
Paso 2.11.6
Suma y .
Paso 2.11.7
Resta de .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 4.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 4.1.2
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.4.1
Suma y .
Paso 4.1.2.4.2
Multiplica por .
Paso 4.1.2.4.3
Reordena los factores de .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.3
Establece igual a .
Paso 5.4
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.1
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.1.1
Reescribe como .
Paso 5.4.2.1.2
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 5.4.2.1.3
Aplica la regla del producto a .
Paso 5.4.2.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4.2.3
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.3.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2.3.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.3.2.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2.3.2.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.4.2.4
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2.4.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.4.2.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2.4.2.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.4.2.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 5.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.2
Multiplica por .
Paso 9.1.3
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.4
Multiplica por .
Paso 9.2
Simplifica mediante la adición de números.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.2.1
Suma y .
Paso 9.2.2
Suma y .
Paso 10
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.2
Resta de .
Paso 11.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.4
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 13.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.2
Multiplica por .
Paso 13.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.4
Multiplica por .
Paso 13.2
Simplifica mediante suma y resta.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.2.1
Resta de .
Paso 13.2.2
Suma y .
Paso 14
Como hay al menos un punto con o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.1
Divide en intervalos separados alrededor de los valores de que hacen que la primera derivada sea o indefinida.
Paso 14.2
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.2.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 14.2.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.2.2.1
Multiplica por .
Paso 14.2.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 14.2.2.3
Resta de .
Paso 14.2.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 14.2.2.5
Multiplica por .
Paso 14.2.2.6
La respuesta final es .
Paso 14.3
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.3.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 14.3.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.3.2.1
Multiplica por .
Paso 14.3.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 14.3.2.3
Resta de .
Paso 14.3.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 14.3.2.5
Multiplica por .
Paso 14.3.2.6
La respuesta final es .
Paso 14.4
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 14.4.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.4.2.1
Multiplica por .
Paso 14.4.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 14.4.2.3
Resta de .
Paso 14.4.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 14.4.2.5
Multiplica por .
Paso 14.4.2.6
La respuesta final es .
Paso 14.5
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 14.5.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 14.5.2.1
Multiplica por .
Paso 14.5.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 14.5.2.3
Resta de .
Paso 14.5.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 14.5.2.5
Multiplica por .
Paso 14.5.2.6
La respuesta final es .
Paso 14.6
Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de , no es un máximo local ni un mínimo local.
No es un máximo local ni un mínimo local
Paso 14.7
Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de , es un mínimo local.
es un mínimo local
Paso 14.8
Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de , no es un máximo local ni un mínimo local.
No es un máximo local ni un mínimo local
Paso 14.9
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un mínimo local
Paso 15