Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 1.2.3

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Paso 1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Paso 1.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Paso 1.2.4.3

Combina $\frac{4}{x^{4} + 27}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.3.5

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.4.3

Suma $3$ y $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Paso 2.5

Combina $4$ y $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.4.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.3

Multiplica $3$ por $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.4

Multiplica $81$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.6.4.2

Resta $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Paso 4.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Paso 4.1.2.3

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Paso 4.1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 4.1.2.4.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Paso 4.1.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Paso 4.1.2.4.3

Combina $\frac{4}{x^{4} + 27}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x^{3} = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.1.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.1.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Paso 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $324$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.1.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

Paso 9.2.3

Eleva $27$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{729}$

Paso 9.3

Divide $0$ por $729$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

Paso 10.2.2.2.2

Suma $16$ y $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.2.3.1

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

Paso 10.2.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

Paso 10.2.2.4

La respuesta final es $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

Paso 10.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

Paso 10.3.2.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

Paso 10.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

Paso 10.3.2.2.2

Suma $16$ y $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

Paso 10.3.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

Paso 10.3.2.4

La respuesta final es $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11