Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (π x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Paso 1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- \sin (π x) π$

Paso 1.2.3.2

Reordena los factores de $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π \sin (π x)$ con respecto a $x$ es $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

Paso 2.3

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Paso 2.5

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- π \sin (π x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- π \sin (π x) = 0$ por $- π$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- π \sin (π x) = 0$ por $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Paso 4.2.2.2

Divide $\sin (π x)$ por $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$π x = \arcsin (0)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$π x = 0$

Paso 7

Divide cada término en $π x = 0$ por $π$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $π x = 0$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $0$ por $π$ .

$x = 0$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$π x = π - 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π x = π + 0$

Paso 9.1.2

Suma $π$ y $0$ .

$π x = π$

Paso 9.2

Divide cada término en $π x = π$ por $π$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $π x = π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{π}{π}$

Paso 9.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 1$

Paso 10

La solución a la ecuación $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- π^{2} \cos (π (0))$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

Paso 12.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

Paso 12.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- π^{2}$

Paso 13

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 14

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 14.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \cos (π (0))$

Paso 14.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Paso 14.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 14.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- π^{2} \cos (π (1))$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 16.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

Paso 16.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- π^{2} (- \cos (0))$

Paso 16.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Paso 16.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

Paso 16.5

Multiplica $- π^{2} \cdot - 1$ .

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Paso 16.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 π^{2}$

Paso 16.5.2

Multiplica $π^{2}$ por $1$ .

$π^{2}$

Paso 17

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 18

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 18.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \cos (π (1))$

Paso 18.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

Paso 18.2.2

$f (1) = - \cos (0)$

Paso 18.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Paso 18.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 18.2.5

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 19

Estos son los extremos locales de $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ es un máximo local

$(1, - 1)$ es un mínimo local

Paso 20