Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=x+2cos(x)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
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Paso 1.1
Diferencia.
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Paso 1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2
Evalúa .
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Paso 1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.3
Multiplica por .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Diferencia.
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Paso 2.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
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Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.3
Resta de .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 5.1
Divide cada término en por .
Paso 5.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 5.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.2.1.2
Divide por .
Paso 5.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.3.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 6
Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior de seno.
Paso 7
Simplifica el lado derecho.
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Paso 7.1
El valor exacto de es .
Paso 8
La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el segundo cuadrante.
Paso 9
Simplifica .
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Paso 9.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 9.2
Combina fracciones.
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Paso 9.2.1
Combina y .
Paso 9.2.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 9.3
Simplifica el numerador.
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Paso 9.3.1
Mueve a la izquierda de .
Paso 9.3.2
Resta de .
Paso 10
La solución a la ecuación .
Paso 11
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 12
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 12.1
El valor exacto de es .
Paso 12.2
Cancela el factor común de .
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Paso 12.2.1
Factoriza de .
Paso 12.2.2
Cancela el factor común.
Paso 12.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 12.3
Reescribe como .
Paso 13
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 14
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 14.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 14.2
Simplifica el resultado.
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Paso 14.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 14.2.1.1
El valor exacto de es .
Paso 14.2.1.2
Cancela el factor común de .
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Paso 14.2.1.2.1
Cancela el factor común.
Paso 14.2.1.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 14.2.2
La respuesta final es .
Paso 15
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 16
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 16.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
Paso 16.2
El valor exacto de es .
Paso 16.3
Cancela el factor común de .
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Paso 16.3.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 16.3.2
Factoriza de .
Paso 16.3.3
Cancela el factor común.
Paso 16.3.4
Reescribe la expresión.
Paso 16.4
Multiplica.
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Paso 16.4.1
Multiplica por .
Paso 16.4.2
Multiplica por .
Paso 17
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 18
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 18.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 18.2
Simplifica el resultado.
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Paso 18.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 18.2.1.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
Paso 18.2.1.2
El valor exacto de es .
Paso 18.2.1.3
Cancela el factor común de .
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Paso 18.2.1.3.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 18.2.1.3.2
Cancela el factor común.
Paso 18.2.1.3.3
Reescribe la expresión.
Paso 18.2.2
La respuesta final es .
Paso 19
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 20