Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 5$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 2.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 2.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 5$ y $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.4.8.4

Resta $1$ de $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.6.2

Factoriza $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.6.2.2

Factoriza $x - 3$ de $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.6.2.3

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 3.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.1

Factoriza $x - 3$ de ${(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.7.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.11.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12

Simplifica.

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Paso 3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.2.1.1

Expande $(x - 3) (2 x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.12.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.12.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.12.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.2.1.3

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.2.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.4

Expande $(- 2 x + 10) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.12.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.12.2.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.2.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.2.1.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.5.1.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.1.5.2

Suma $2 x$ y $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

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Paso 3.12.2.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.2.2

Suma $- 12 x + 18$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.2.3

Suma $- 12 x$ y $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.2.4

Suma $0$ y $18$ .

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 3.12.2.3

Resta $10$ de $18$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.1.3.5

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 5.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 5.1.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6.3.2

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.3.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6.3.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 5, 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{8}{2^{3}}$

Paso 10.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8}{8}$

Paso 10.2

Divide $8$ por $8$ .

$1$

Paso 11

$x = 5$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 5$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 5$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

Paso 12.2.1.2

Resta $5$ de $25$ .

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

Paso 12.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 12.2.2.1

Resta $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{20}{2}$

Paso 12.2.2.2

Divide $20$ por $2$ .

$f (5) = 10$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $10$ .

$y = 10$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica el denominador.

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Paso 14.1.1

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 14.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8}{- 8}$

Paso 14.2

Divide $8$ por $- 8$ .

$- 1$

Paso 15

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

Paso 16.2.1.2

Resta $5$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

Paso 16.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 16.2.2.1

Resta $3$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

Paso 16.2.2.2

Divide $- 4$ por $- 2$ .

$f (1) = 2$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ .

$(5, 10)$ es un mínimo local

$(1, 2)$ es un máximo local

Paso 18