Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 2 x^{2}$

Paso 1

Escribe $y = x^{4} - 2 x^{2}$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x)$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 4 x$ .

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Paso 6.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Paso 6.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Paso 6.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Paso 6.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza.

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Paso 6.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 6.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 6.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6.6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Paso 10.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 - 4$

Paso 10.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 11

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2}$

Paso 12.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 12.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Paso 14.1.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 - 4$

Paso 14.2

Resta $4$ de $12$ .

$8$

Paso 15

$x = - 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2}$

Paso 16.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Paso 16.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 \cdot 1 - 4$

Paso 18.1.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 - 4$

Paso 18.2

Resta $4$ de $12$ .

$8$

Paso 19

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2}$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2}$

Paso 20.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

Paso 20.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Paso 20.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 20.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 21

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

$(0, 0)$ es un máximo local

$(- 1, - 1)$ es un mínimo local

$(1, - 1)$ es un mínimo local

Paso 22