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Cálculo Ejemplos
Paso 1
Paso 1.1
Diferencia.
Paso 1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2
Evalúa .
Paso 1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.3
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Suma y .
Paso 2
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Multiplica por .
Paso 2.3
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Suma y .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Paso 4.1.1
Diferencia.
Paso 4.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2
Evalúa .
Paso 4.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.3
Multiplica por .
Paso 4.1.3
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 4.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Suma y .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3
Divide cada término en por y simplifica.
Paso 5.3.1
Divide cada término en por .
Paso 5.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 5.3.2.1
Cancela el factor común de .
Paso 5.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.3.2.1.2
Divide por .
Paso 5.3.3
Simplifica el lado derecho.
Paso 5.3.3.1
Divide por .
Paso 6
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 10
Paso 10.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 10.2
Simplifica el resultado.
Paso 10.2.1
Simplifica cada término.
Paso 10.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 10.2.1.2
Multiplica por .
Paso 10.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
Paso 10.2.2.1
Resta de .
Paso 10.2.2.2
Suma y .
Paso 10.2.3
La respuesta final es .
Paso 11
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
Paso 12