Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$2 x \ln (x) + x$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \ln (x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.6.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 2.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x \ln (x) + x = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Paso 4.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Paso 5.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (x) = - x$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Paso 5.6

Resuelve $x$

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Paso 5.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Mueve $e^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

Paso 9.1.2

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

Paso 9.1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Paso 9.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Paso 9.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Paso 9.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + 3$

Paso 9.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$2$

Paso 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 11.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2.2

Simplifica.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.3

Mueve $e^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Paso 11.2.4

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Paso 11.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 11.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Paso 11.2.7

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

Paso 11.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

Paso 11.2.9

La respuesta final es $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ es un mínimo local

Paso 13