Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{6 x^{2} + 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6 x^{2} + 1}$ como ${(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 6 x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 7.3

Mueve ${(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 12

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + 0)$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Suma $12 x$ y $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 x)$

Paso 13.2

Combina $12$ y $\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Paso 13.3

Combina $\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 13.4

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $3$ de $3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$