Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $t$ en el denominador, que es $\sqrt{t^{4}} = t^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{3 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{3 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Paso 2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{3 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $t$ y $t^{4}$ .

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Paso 2.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} + 1}{\frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} + 1}{\frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $t$ de $t^{4}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{\frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{3}{t} - 1}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{3}{t} - 1}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{3}{t} - 1}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{3}{t} - 1}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{3}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Paso 4.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0 + 1}{3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Paso 6.2.2.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.3

Divide $1$ por $- 1$ .

$- 1$