Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x - x^{3}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{1}}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - 1}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 0}{0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{0 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5}{0 - 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{0 - 1}$

Paso 6.2.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{5}{- 1}$

Paso 6.2.3

Divide $5$ por $- 1$ .

$- 5$