Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 3 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

Paso 1.1.3.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.1.3.6.3

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.6

Suma $4 x + 3$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.9.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.9.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + 0}$

Paso 1.3.11

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Paso 2.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 2}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 2}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.1.2

Suma $- 4$ y $3$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 1}{- 2 - 2}$

Paso 4.2.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{- 1}{- 4}$

Paso 4.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{1}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$