Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2}}{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{2 + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 + x) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 + x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(2 + x) \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + x)} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}}{x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x) x}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 - (2 + x)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Paso 3.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite de $2 - (2 + x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - (2 + 0)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Paso 3.1.2.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 + x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot 0}$

Paso 3.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.5.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Paso 3.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - (2 + x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (2 + x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [2 + x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [2 + x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.4.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 + x$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Paso 3.3.8

Multiplica $2 + x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Paso 3.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.3.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.3.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \cdot 1}$

Paso 3.3.13

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x}$

Paso 3.3.14

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + 2 x}$

Paso 3.3.15

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 2}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 4.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 2}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 2}$

Paso 6.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$