Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

Paso 1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Paso 1.2

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{2})$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$

Paso 5

Reescribe $\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$ como $\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} \cdot 3 x) + C$