Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x^{7}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{7}}]$ como $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $x^{7}$ como ${(x^{3})}^{2} x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{6} x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x^{3})}^{2} x}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}]$

Paso 3.5.2

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $7$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$

Paso 9

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$