Cálculo Ejemplos

$\ln (\tan (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Paso 6.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Paso 6.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 6.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 6.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 6.6

Multiplica $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 6.7

Separa las fracciones.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 6.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Paso 6.9

Separa las fracciones.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Paso 6.10

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Paso 6.11

Divide $1^{2}$ por $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Paso 6.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Paso 6.13

Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$