Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

Paso 1.2

Multiplica $i$ por $i^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Multiplica $i$ por $i^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

Paso 1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

Paso 1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$i^{3} + i \cdot 1$

Paso 1.3

Multiplica $i$ por $1$ .

$i^{3} + i$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $3$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $10$ y $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Paso 3.3.1.3

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $100$ por $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Paso 3.3.2.2

Divide $12100$ por $4$ .

$3025$

Paso 4

Evalúa $\sum_{i = 1}^{10} i$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Paso 4.3.1.2.4

Divide $5 (10 + 1)$ por $1$ .

$5 (10 + 1)$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Suma $10$ y $1$ .

$5 \cdot 11$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $5$ por $11$ .

$55$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$3025 + 55$

Paso 6

Suma $3025$ y $55$ .

$3080$