Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{8}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 5.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 5.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 5.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 5.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 5.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.73519360 \dots$