Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln ({(x)}^{4})}{x} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{\ln (x^{4})}{x}$ como $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int u d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} u^{2} + C$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} u^{2} + C$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 u^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$2 \ln^{2} (x) + C$