Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Paso 1

Sea $x = 5 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $5 \tan (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $5 \tan (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \sec (t) d t$

Paso 3

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x}{5})) |) + C$

Paso 5

Reordena los términos.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) |) + C$