Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.5

Reorganiza los términos.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.7

Reescribe $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2 \sec (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \sec (t) d t$

Paso 3

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |) + C$

Paso 5

Reordena los términos.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} x)) |) + C$