Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{8 x}} d x$

Paso 1

Sea $u = 8 x$ . Entonces $d u = 8 d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 8 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 1.1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$8$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{8} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Paso 2.2

Mueve $8$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $2$ .

$\frac{2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$\frac{1}{4} {(8 x)}^{\frac{1}{2}} + C$