Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} d x$

Paso 1

Reordena $4$ y $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} d x$

Paso 2

Divide $x^{2}$ por $x^{2} + 4$ .

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Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 4$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$4$

Paso 2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x + C - \int \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$x + C - (4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 7.2

Reordena $x^{2}$ y $4$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$x + C - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$x + C - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Paso 9.2

Simplifica.

$x - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$x - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$